蒙特卡洛模拟 – 完成时间概率分析
一、简介
蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）是一类基于随机抽样（随机数）的方法，用于通过数值实验估计复杂系统或数学模型的行为。它广泛应用于物理、金融、工程、风险管理等领域。
二、基本原理
蒙特卡洛方法核心思想是：
- 构造随机过程：根据问题建立概率模型。
- 随机抽样：生成大量符合模型分布的样本。
- 统计估计：对样本结果进行统计计算，以近似求解理论值。
三、算法步骤
- 确定待估计量：设目标函数或指标为
I。 - 建立概率分布：选取合适的随机变量
X及其分布f_X(x)。 - 重复抽样：生成
N个独立同分布样本X_1, X_2, …, X_N。 - 计算样本值：对每个样本计算映射函数
g(X_i)。 - 统计平均：用样本平均值近似期望值。
- 误差评估：通过样本方差估计模拟误差。
四、核心公式
1. 期望的蒙特卡洛估计
备注：
X：随机变量f_X(x)：X的概率密度函数g(x)：对X的映射函数N：独立抽样次数{X_i}：抽样得到的样本
公式：
$$\hat{I} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} g(X_i)$$
2. 标准误差估计
备注：
\hat{I}：蒙特卡洛估计值g(X_i)：第i个样本的映射值\overline{g}：样本平均值，即\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N g(X_i)S^2：样本方差SE：标准误差
公式：
$$S^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N \bigl(g(X_i) – \overline{g}\bigr)^2, \quad SE = \frac{S}{\sqrt{N}}$$
五、示例：估计圆周率 \(\pi\)
1. 问题描述
在单位正方形 \([0,1]×[0,1]\) 内均匀撒点，落在内切四分之一圆（半径为1）内的概率等于该圆面积与正方形面积之比，即 \(\pi/4\)。
2. 构造随机变量
备注：
X_i, Y_i：独立均匀分布于 \([0,1]\)I_i = \mathbf{1}_{\{X_i^2 + Y_i^2 \le 1\}}：指示函数，当点落在四分之一圆内时取1，否则取0
公式：
$$I_i = \mathbf{1}_{\{X_i^2 + Y_i^2 \le 1\}}$$
3. 蒙特卡洛估计
备注：
N：总样本数\hat{p}：落在圆内的样本比例\hat{\pi}：估计的 \(\pi\)
公式：
$$\hat{p} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N I_i, \quad \hat{\pi} = 4\hat{p}$$
4. 标准误差
备注：
\hat{p}：样本比例SE_{\hat{p}}：比例的标准误差
公式：
$$SE_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{N}}, \quad SE_{\hat{\pi}} = 4 SE_{\hat{p}}$$
5. 简单数值演示
设 N=10,000，可得到：
$$\hat{p} \approx 0.7853 \quad\Rightarrow\quad \hat{\pi} \approx 4 \times 0.7853 = 3.1412$$
标准误差约为：
$$SE_{\hat{\pi}} \approx 4 \sqrt{\frac{0.7853\times0.2147}{10000}} \approx 0.0073$$
六、小结
蒙特卡洛模拟通过随机抽样实现对难以解析求解问题的近似估计。关键在于构造合适的随机模型与映射函数，并利用大数定律与中心极限定理保证估计精度。简单示例（如估计 \(\pi\)）能直观体会其思路：大量随机试验与统计平均。通过增大样本量 N，可以在可接受的误差范围内获得足够精确的结果。蒙特卡洛方法以其直观易用和强大的适应性，在各学科领域得到广泛应用。
